Beta 存活模型

最近在研究客戶留存的問題時，看到了 Netflix 的一篇有趣的文章：Beta Survival Models。在這篇文章中，他們將留存模型 (retention modeling) 中很經典的 Shifted Beta-Geometric Model 與用戶的特徵 (feature/covariates) 連結在一起，做出挺有趣的參數化方法，估計個別用戶的留存機率。

Shifted Beta Geometric Model

假設使用者（其特徵為 ）在每個離散時間點（比如說：每一期繳費前） 會決定是否要繼續訂閱 Netflix 服務，其中用戶取消訂閱的機率為 、持續訂閱的機率為 ，而且  會隨著使用者的特徵不同而改變（也就是指： 是 的函數），比如說：第一個月用觀看時間越長的用戶，取消訂閱的機率 就越小。令 代表用戶取消訂閱的時間，則 的機率分配為幾何分配 (Geometric distribution)，其機率質點函數 (probability mass function) 為：

上式是怎麽得到的呢？其實很簡單，假設用戶在第 期取消訂閱，代表在第 期用戶都沒有取消，機率為 ，而在在第 期取消的機率是 ，因此我們可以得到上式。

如果有學過貝式統計，應該不陌生，通常我們會使用 Beta 分配來描述 Bernoulli 機率，因此，在這裡我們設定  的條件分配 (conditional distribution) 為 分配，也就是說，此處透過 Beta 分配中的 來連結 churn probability 與使用者特徵的關係。因此，我們可以寫下 的條件機率密度函數 (conditional density function) 為：

其中 皆為大於 0 的函數。為了確保大於 0 的條件，比較好的方法是將其參數化為 ，目標則轉變成估計 函數。

接下來，我們可以透過 MAP (maximum a posterior) 方法估計 。令 代表使用者 再觀察時間內有退訂 （c 代表 censored）且退訂時間記為 ， 代表沒有退訂且最後訂閱的時間記為 ，則我們可以將 的後驗分配寫為：

其中 。

利用遞迴關係估計

接下來，我們要透過 Gamma 函數的性質，寫出遞迴形式，透過遞迴形式，我們可以更進一步得到遞迴形態的 gradient，幫助我們解出後驗分配的最大化問題。首先，我們列出起始條件，也就是 的情況（此處為求符號簡單，省略 ）：

透過類似的技巧，我們可以得到以下的遞迴形式：

有了上述的遞回形式，針對每個用戶 ，我們都可以從 計算到 ，得到概似函數 或是 。

接下來，我們要透過 MAP 估計 ，也就是求解最佳化問題 ，其中損失函數 (loss function) 的形式為：

此處我們可以透過上述的遞迴形式以及簡單的微積分，就可以得到如論文 Appendix 2 中的遞迴式，也可以順利計算出 Gradient 和 Hessian 的數值。因此，此處我們已經可以順利計算出 loss function, Gradiient, Hessian 的數值，因此就有辦法透過 Gradient Descent 方式解出 了。

Beta-logistic 模型

上述的 Beta 存活模型，最簡單的形式便是假設線性關係，也就是 ，此時我們可以發現在 時：

變成了邏輯迴歸的連結函數 (link function)，因此作者將這個簡化的模型稱為 Beta-logistic 模型。在論文中還有再提到幾個面向的討論，一是比較兩個使用者的流失機率：

另一個面向則是 Posterior Size Comparision，也就是比較估計出 的信賴區間大小。

這篇論文運用貝式統計進行參數估計與預測的方法其實很經典，但滿巧妙的連結了離散事件跟使用者特徵，而且並不一定只適用於線性模型，比較複雜的方法也可以用來參數化 ，論文本身的數學難度也不高，滿建議修過貝氏統計的朋友可以讀一讀！有關 David’s Perspective 的最新文章，都會發布在大鼻的 Facebook 粉絲專頁，如果你喜歡大鼻的文章，還請您不吝嗇地按讚或留言給我喔！

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