舒適圈真的踏出了嗎?測度論(Measure Theory)的思考

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「踏出自己的舒適圈」可以說是我大學時聽過最多次的「大道理」─當然,大道理存在當然是有其道理,像是褚士瑩先生有一篇文章是:勇於踏出「舒適圈」,成為自己心目中最棒的那個人,就提到許多發人深省的小故事。當然,也有人不甚認同,像是踏出「舒適圈 」陷阱?就認為我們不應該把舒適圈無限上綱,人生還是要跟隨自己的本心而走。

 

我個人對這句話沒有什麼特別的意見,那麼為什麼會想要寫這一篇標題為「舒適圈真的踏出了嗎?」的文章呢?主要是因為我認為上面提到的兩種說法其實都是對的,那麼為什麼會有這樣的分歧呢?主要的原因是「舒適」跟「圈」其實是兩種不同的概念,因此混在一起談的時候,很容易造成分歧。所以我想用數學中的「測度論」(measure theory) 切入,探討「舒適」與「圈子」的關係。

 

測度論的舒適與圈

 

以測度論 (measure theory) 的角度來思考,首先我們要先想清楚「圈子」是什麼。 世界上有非常多不同類型的圈子,每一個圈子其實都算是一個「集合」(set),集合之間存在著許多關係,比如說,公館生活圈跟台北生活圈本身有著「包含」關係,大學跟金融的「交集」會是財金系等。因此,我們假設 S = 這個世界,而「圈子的總和」\mathcal{C} 本身是一個 S\sigma-algebra,也就是說這個「圈子的總和」要滿足以下條件:

  1. 「空集合 \phi」(虛無的圈子)與「整個世界S」都要落在「圈子的總和」\mathcal{C} 中。
  2. 對於圈子 C\in\mathcal{C}(如:公館圈),他的補集 S-C (這世界處了公館圈以外) 也要屬於 \mathcal{C} 中。
  3. 任何可數多個「圈子」,他們的聯集(union),也要落在「圈子的總和」\mathcal{C}裡。

 

接著我們要想想「舒適」\mu 的本質,比如說:突然一個台北人他丟到「亞馬遜雨林」這個圈子,他會覺得很不舒適,同樣的,把一個一直住在亞馬遜雨林的人丟到「台北」這個圈子,他也會覺得很不舒適。因此對一個人來說,「舒適」\mu 本身是用來量度「圈子」好壞的標準,是一個圈子的「測度」(measure)。做為一個測度 (measure) ,要滿足以下條件:

  1. 對於任何的圈子 C\in\mathcal{C},其舒適度 \mu(C)\geq 0
  2. 對於空集合,其舒適度 \mu(\phi)=0
  3. 對於任意可數多個彼此不重疊的圈子 C_1, C_2,\cdots \in \mathcal{C}C_i\cap C_j = \phi,~ i \neq j,他們聯集的舒適度與個別圈子舒適度的總和一樣,也就是 \mu(\cup_i C_i) = \sum_i \mu(C_i)

 

當我們定義好一個「舒適測度」\mu之後,我們就可以想想「踏出現有的生活圈」有沒有什麼好處。假設 C_{current} 是你目前的生活圈,當你勇敢踏出了一步,讓你的生活圈變大成 C_{new},而且你舊有的生活圈 C_{current} 會包含在你的新生活圈 C_{new}中,這樣新生活圈就可以寫成 C_{new} = C_{current} \cup (C_{new}  - C_{current}),因此,當你勇敢踏出你的生活圈時,你的舒適度會變成 \mu(C_{new}) = \mu( C_{current} \cup (C_{new}  - C_{current})) = \mu( C_{current} )+\mu (C_{new}  - C_{current})\geq \mu( C_{current} ),其中\mu (C_{new}  - C_{current})根據定義會大於或等於0。有此可以看到,踏出既有的生活圈卻可以讓你的舒適測度升高。

 

踏出生活圈真的會更舒適嗎?

 

但是什麼時侯,你踏出生活圈可能不一定讓你的舒適測度升高呢?答案是:你的新生活圈不能完全包含舊有生活圈時。由下面這張圖很容易可以理解,你到了一個新生活圈,可以得到紅色區域的舒適度,但同時你必須放棄藍色區域的舒適度,因此當你「放棄的舒適度」大於「新得到的舒適度」,你其實會過得比較不開心。

 

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因此,決定自己真正開不開心或是有沒有活得更精采的,其實並不是在於你有沒有踏出去,而是「新得到」跟你「你失去」舒適度的差距。所以,再決定要不要踏出現有的生活圈時,其實是需要先確認兩件事:

  1. 你夠不夠了解自己,也就是說,你的「舒適測度」 \mu 的形式你是否夠清楚了?
  2. 你知不知道新的生活圈會為你帶來什麼,而你同時必須放棄那些舊的生活圈?

總之,其實把「舒適」跟「圈」混在一起談,會非常容易造成別人的誤會,支持踏出舒適圈的人其實是想表達「圈圈變大了,舒適度會上升」,而反對踏出舒適圈的人其實想表達的是:「當你踏出現在的圈圈,你可能得放棄能為你帶來更多舒適度的圈圈」,其實兩方說的都對,但大鼻寫這麼一大串的廢話,其實想講的就是:在傳遞訊息的時候,如果能夠用數學的方式,把定義都先訂清楚,大家在這個定義的框架下去討論,才能得到一致的結論,同時可以更清楚理解彼此的想法,這是我覺得數學最漂亮的地方。

 

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About David Huang

目前在台灣大學就讀統計碩士學位學程。我的研究領域是特徵表達與降維分析、序列決策模型、以及財務時間序列,我喜歡用商業的觀點切入大數據與資料科學!

2 Comments

  1. 你好,我很喜歡這樣子的觀點。你有更多類似的資料是這樣討論的嗎?我指的是用一些具體思考來看待像$\sigma$-algebra這樣的概念,或是information flow的想法,因為我一直找不到相關的中文書……。

    p.s. 可以私訊我的mail

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